Space Flux

Space Flux .net

2009-11-28T21:48:00.000-05:00

도메인을 새로 구입 했습니다!

I got a new domain!!

spaceflux.net

간단해서 좋군요! ㅎㅎ

I like this simple domain! hehe

Email 주소도 바꿨습니다.

Email address is changed either.

spaceflux@spaceflux.net

Google Apps 확실히 편하긴 편하군요..

It was so easy to setup this using Google Apps..

space flux blog 오시는 것이 더 쉬워 졌으면 합니다.

It would be easier to access space flux blog.

Thank you!

Crosscountry to Niagara Falls

2009-09-18T00:35:00.000-04:00

2009 09 12 ~ 13

주말을 이용하여 이틀간 cross country 로 후다닥 Niagara 폭포를 보고 왔습니다.

큰 지도에서 Crosscountry 2009 09 12~13 보기

2009 09 12 Sat

DAB - Daytona Beach International Airport

EHO - Shelby Cleveland County Regional Airport

BVI - Beaver County Airport

IAG - Niagara Falls International Airport

FDY - Findlay Airport

2009 09 13 Sun

FDY - Findlay Airport

PDK - Dekalb Peachtree Airport

DAB - Daytona Beach International Airport

대략 2000 마일 정도 찍었습니다.

36시간 동안 21시간을 비행을 했습니다.

정말 기름 넣고, 화장실 가고, 밥은 거의 안 먹고, 잠자고 잠깐 폭포 보는 거 빼곤 비행만 한 것 이죠~

쭉~ 비행만 해서 많이 배고픈 비행이었습니다...;;

번개에 콩 구워 먹듯이 나이야가라 폭보를 찍고 온 것이죠. ㅎㅎㅎ

Piper PA-28 Arrow 가 빠르긴 빠른듯 합니다..

Cruising speed 가 대략 120~130 노트 나오더군요..

Single Engine 이지만, 기어가 들어가고, 프로펠러 피치도 바뀌고 하니..

저는 옵저버로 뒤에 타서 열심히 셔텨를 눌러 뎄습니다.

사진은 언젠가는 올리겠죠.. ㅎㅎㅎ

Long cross country 의 참 맛을 느낄 수 있는 비행이었습니다.!!

Road Trip 2009 다녀왔습니다~

2009-08-24T14:05:00.000-04:00

Road Trip 2009 다녀왔습니다~!

대략 3주 정도해서 Daytona - LA - Seattle - LA - Daytona 이렇게 찍었습니다.

Daytona to LA

큰 지도에서 Road Trip 2009 Daytona to LA 보기

LA to Seattle

큰 지도에서 Road Trip 2009 LA to Seattle 보기

Seattle to LA

큰 지도에서 Road Trip 2009 Seattle to LA 보기

LA to Daytona

큰 지도에서 Road Trip 2009 LA to Daytona 보기

다녀오니 바로 학기 시작이군요...

여행 이야기는 언젠가는 올리겠지요...

한 몇년 후 쯤??? ㅎㅎㅎ

그럼 모두들 즐거운 가을 되시길 바래요~

Road Trip 2009 떠납니다.

2009-08-03T14:00:00.000-04:00

이번 2009 년 여름, 또 다시 Road Trip 을 떠납니다.

이 글을 읽으실 때는 이미 반대편 해안에 있을 것 입니다.

그 동안 올라간 포스트는 예약으로 올라간 것이죠~ ㅋㅋ

루트는 다음과 같습니다.

큰 지도에서 Road Trip 2009 보기

Seattle 가고 나서는 맘대로 입니다~~~ ㅎㅎ

대략 3주 정도 잡고 가는데요..

기대 되군요~

그 동안 포스트는 올릴 수 없겠네요~

이제 짐도 거의 다 싸고, 저는 앞으로 2시간 반 후면 출발 입니다!!

잘 다녀올게요!~

Amtrak to DC

2009-07-31T14:00:00.000-04:00

2006 03 18

View Amtrack to DC in a larger map

펼쳐두기..

In The Train Coach Heading DC

펼쳐두기..

Jacksonville Station

펼쳐두기..

Keep Continue to DC

펼쳐두기..

창 밖 보기

할머니랑 앉았을 땐 할머니 넘어서 밖을 살짝 씩 봤다. 계속 나무가 이어졌다. Florida 에서는 역시 야자수와 파릇파릇한 나무들이 지나 갔다. Georgia 를 넘어 가니 이른 봄 기운이 난다. Georgia 남부는 Florida 와 비슷하지만, 올라 갈 수록 점점 열대의 모습은 사라진다. Georgia 하면,, 난 가을이 느껴진다. Georgia 에 처음 간 때가 가을이라서 인지는 모르겠지만, Georgia 는 비행기가 아닌 차나 기차로 땅 위로 다닐 땐 가을 분위기가 정말 정말 느껴진다. Georgia 나무들은 봄인데도 가을 같다. 단풍이 안 들었어야 하지만, 내 눈엔 노릿 노릿 울긋 불긋 강하게는 아니어도 얇게나마 단풍이 들어 보인다. 예전에 Atlanta 에 갔던 기억들이 새록 새록 떠오른다. 그 때 Georgia 에서는 어딜 가나 단풍을 만날 수 있었다. 단풍도 그냥 단풍이 아닌 한 잎 한 잎 마다 정성을 드린 작품 같은 단풍 이었다. 아름다운 붉은 단풍색, 누런 은행색, 그리고 갈잎색.. 그러한 색을 느껴본 Georgia 는 아직 나한테 있었다.. highway 를 따라 끝없이 이어지던 가을 단풍.. 아직도 눈에 선하다.

기차 안에서는 따로 할 것이 없기 때문에 이런 생각도 길게 길게 맘 것 할 수 있다는 장점이 있다. ㅎㅎㅎ 그리고 실은 이것 밖에 할 것이 없으므로 계속 이런 생각만 한다. ㅋㅋㅋ

기차를 타고 가다 보니 누런 벌판도 있었다. 한쪽엔 벌판, 한쪽엔 나무가 있는 경우가 많았지만, 양쪽 다 철로를 가운데 두고 벌판이 있는 곳도 있었다. 그렇다고 건너편에 도로가 있는 것도 아니었다. 벌판 한 복판이다. 밖에서 이런 곳을 지나가는 기차를 보면 어떨까? 정말 동화 속 그림 같아 보일 것이다. 질 준비를 하는 5시 태양은 벌판 색체를 더 돋보이게 하였다. 밤에는 보통 기차에서 세어 나가는 빛에 반사되어 보이는 나무들이 보였다. 종종 옆에 찻길도 따라가면 차들의 헤드라이트와 리어라이트가 보였다. 어느 곳엔 간판이 줄줄이 이어진 곳도 있었다. 다들 한가하게 보이기도 했지만, 열차 밖에 있는 일상 생활과 열차 안의 일탈 생활의 경계가 느껴졌다. 그러면서 열차는 고요히 혼자 어둠을 뚫고 가고 있었다.

라고 그 때 수첩에 썼더랍니다… ^^

Deland Amtrak Station

2009-07-30T14:00:00.000-04:00

2006 03 18

펼쳐두기..

Deland Amtrack Station

View Deland Amtrak Station in a larger map

펼쳐두기..

Deland Station

US92 타고 죽 와서 조금 헤맸다. 그래도 어제 Google에서 지도 뽑길 잘했다. 그래서 거의 곧장 왔다. 이정표를 따라 갔더니 ……. 엇! 이게 모야!! 이게 역이야?? 할 정도로 무지 작은 역이었다. 상상과는 전혀 달랐다. 역이 하두 오래 되어서 다 해져있고, 페인트도 많이 벗겨졌다.

표 사러 갔더니 역무원이 나가 있었다. 승강장으로 가보니 승강장이 무지 낮았다. 1 step 정도였다. 승강장엔 벤치 몇 개 있었다.

때 마침 Orlando 쪽으로 가는 열차가 왔다. 기차가 컸다. 힘도 세보이고.. 승강장이 낮아서인지는 모르겠지만, 바퀴 지름이 많이 커 보였다. 그래서인지 기차가 전체적으로 높았다. 곳곳에 물이 나오는 곳이 있는데, 상상에 맡기는 것이 좋겠다. 기차가 들어올 땐 멀찌감치 떨어져 있는 것이 좋을 듯 하다. 먼지도 엄청 날리기도 하지만 그 뭔지 모를 액체도 튄다.

Amtrak 마크가 Korail 마크하고 엄청 비슷했다. 둘 다 철로를 그린 것인데 같은 구도로 그리니 스트라이프 세 개 딱 똑같다.

기차가 정지하고 사람들이 내렸다. 역무원이 부친 짐 들을 세 바퀴 달린 카트에 싣고 왔다. 사람들이 표 사는 곳 아래 있는 철문을 통해 짐을 찾았다. 역무원이 돌아오니 5명 정도가 줄을 섰다. 나도 섰다. $210 주고 USA Rail Pass를 샀다. 집으로 돌아갈 표도 샀다. 이건 USA Rail Pass와 따로이다.

알고 보니 우리 동네에서 Deland 왔다 갔다 하는 버스가 버스가 아니고 택시라고 한다. 그러니까 못 찾지.. 난 그레이하운드처럼 큰 버스인줄 알았다. DOTS도 그러더니 이것도 그럴 줄이야.. 암튼 돌아갈 땐 Cab이 우리 동네에서 와야 하니 기다리기 싫으면 예약하고 사란다. 그래서 샀다. 표 사는 와중에 기차 노치고 차로 따라 잡을 수 있냐는 사람이 왔었다.. 차가 빠르나 기차가 빠르나??

형들과 바이 바이 했다. 이젠 진짜 혼자이다. 처음으로 혼자 떠나는 여행, 기대된다.!!!

펼쳐두기..

Amtrak USA Rail Pass

펼쳐두기..

AE522 1.9 Orthotropic, Transversely Isotropic, and Isotropic Materials

2009-07-29T14:00:00.000-04:00

이번 포스트에서는 orthotropic material, transversely isotropic material, isotropic material 별로 compliance matrix 가 어떻게 다른지 알아 볼 것이다.

On this post, we will discuss about the differences of compliance matrix of orthotropic material, transversely isotropic material, isotropic material.

다시 말하자면, 위의 식에서 지금까지는 s 들이 무엇인지는 몰랐지만, 각 material 종류별로 어떻게 다른 값을 갖게 되는지를 알아 본다는 것이다.

So far, we didn't know what is the s, however, we will find how do they are different depend on the type of material in this post.

혹시 matrial 종류에 대해 기억이 잘 안 나시는 분들은 AE522 1.3 포스트를 다시 보시길 바랍니다.

If there is someone who don't remember the types of material, please review the post AE522 1.3 .

Orthotropic Material

Independent variables : 9

AE522 1.6 포스트에서 맨 마지막의 compliance matrix 을 다시 보면, 다음과 같다.

Let's check the compliance matrix which was at the end of post AE522 1.6 .

여기서 보기에는 변수들이 12 개 이다.

그러나 AE522 1.8 포스트에서 유도한 데로 다음을 사용하면,

It looks like it has 12 variables.

However, as solved in AE522 1.8 post, if the relation below is used,

Compliance matrix 는 다음과 같아지고 변수의 수도 9개로 줄일 수 있다. 실제로는 independent variable 은 9 개만 있는 것이었다.

the number of variables of the compliance matrix can be reduced to 9. Actually, the number of indepentent variables are only 9.

AE522 1.6 포스트에서 눈치가 빠르신 분은 이미 눈치를 챘겠지만, 왼쪽 행렬의 1행 2열과 2행 1열 모두가 로 같다.

If someone who have quick eyes would know already on post AE522 1.6, the componets of the matrix at the left side at 1st row 2nd columne and 2nd row 1st columne are smae as .

하지만, 오른쪽 행렬의 1행 2열과 2행 1열은 각각 와 으로 다르다.

However, on the right side, componets at 1st row 2nd columne and 2nd row 1st columne are different by and .

이 것만 보더라도 일 것이라는 것을 유추해 볼 수 있다.

By this, you might figure it out that they have this relationship;

물론 이렇게 유추하는 것은 결과에서 원인을 유추하는 귀납적 추리긴 하지만 말이다..

although, this analogy is reasoned from conclution.

결론적으로, orthotropic material 의 행렬은 다음과 같다고 할 수 있다.

Consequently, the matrix of orthotropic material is same as follow.

변수는 이렇게 9 가지 이다.

The independent variables are 9 as below.

혹시 stiffness matrix 는 어떤가 알고 싶어하는 분들을 위해 알려드린다면..

식으로 나타내면 많이 복잡하다.

그냥 compliance matrix 와 stiffness matrix 는 다음과 같이 역행렬 관계가 된다는 것을 알고, 공학용 계산기나 Matlab 에 수치를 넣고 역행렬을 구하는 것이 속 편하다는 것을 알려드린다.

If someone want to know what is the stiffness matrix for orthotropic material,,,,

Let's say.. it's very very very complex.

Jest remind the relationship between compliance matrix and stiffness matrix is inverse matrix to each other, and plug in to engineering calculator or Matlab.

이런 이유 때문인지, 거의 대부분의 경우 stiffness matrix 보다는 compliance matrix 를 주로 사용한다.

Because of this reason, in most of the cases, people use compliance matrix rather then stiffness matrix.

Transversely Isotropic Material

Independent variables : 5

Transversely isotropic material 은 한면에 대해서는 어느 방향으로나 material property 가 같은 셈인 material 이라고 했다.

만약 2-3 plane 에 대해서 그렇다고 하면, 다음과 같은 조건들이 만족된다.

We already said that the transversely isotropic materials have same material property to every direction for one plane.

If a material do so for 2-3 plane, it satisfy the followings.

말하자면, 2-3 plane 에 대해서 정의 그대로 isotropic matrial 로 만들어준 것이다.

이 조건들을 orthotropic matrial 의 compliance matrix 에 대입을 해주면 다음과 같은 transversely isotropic material 의 compliance matrix 를 만들 수 있다.

As the definition of transversely isotropic materials, it is isotropic matrial for 2-3 plane.

If these conditions are pluged in to the compliance matrix of orthotropic matrial, the compliance matrix of transversely isotropic material can be obtained as below.

변수는 다음과 같이 5 개 이다.
Followings are the 5 independent variables of transversely isotropic material.

Isotropic Material

Independent variables : 2

Isotropic material 은 모든 방향으로 material property 가 같다.

Isotropic materials have the same material propery for every direction.

이런 material 은

This type of materials have

모든 방향의 가 같고,

same for every direction,

모든 방향의 가 같고,

same for every direction,

모든 방향의 가 이다.

and same , which is , for every direction.

그래서 isotropic material 의 compliance matrix 는 다음과 같다.

Finally, the compliacne matrix of isotropic material is same as follow.

변수는 단지 다음의 2 가지 뿐 이다.

There is only 2 independent variables.

이렇게 각 material 별 compliance matrix 가 무엇인 지 알았으니, 변수만 알고 있다면 대입하여 쓰면 된다.

Now, we know about the components of compliance matrix for each materials. What we need to do is just plug in data.

AE522 1.8 Relationship of v_12 and v_21

2009-07-28T14:00:00.000-04:00

AE522 2.7 에서 배운 Maxwell Reciprocal Theorem 을 사용하여 Poisson’s ratio 와 가 어떤 관계를 갖는지 알아보자.

Using Maxwell Reciprocal Theorem that we learned in AE522 2.7 let's find the relation of Poisson’s ratio and .

위와 같은 dimesion (치수) 과 stress 를 받는 cube 를 생각해보자.

Let's discuss about the cube which has the dimensions and applied stresses as above.

위의 그림은 1-2 plane 에서 본 그림이다.

The figure shown above is the plane seen from 1-2 plane.

Maxwell reciprocal theorem 에서처럼 따로 따로 차례 대로 stress 를 작용해보겠다.

Let's apply the loads step by step as Maxwell reciprocal theorem.

먼저 를 apply 한다.

First apply .

그 다음 을 작용하면, 만큼의 deformation (변형) 이 일어난다.

Than if the applied, there will be the deformation of .

은 다음과 같은 표현으로 바꿔 줄 수 있다.

can be rewritten as follow.

위의 식 전개는 Poisson’s ratio 의 정의와 stress strain relation 을 사용한 것이다.

혹시 기역이 안 나신다면, AE522 1.3 포스트를 다시 복습하길 바래요.

The equation is solved using the definition of Poisson’s ratio and stress strain relation.

If there is someone who doesn't remember, plaese review the AE522 1.3 post.

이제 이걸 Maxwell reciprocal theorem 의 공식에 대입해보자.

Now, let's plug in to the equation of Maxwell reciprocal theorem.

는 force 이다. Force 는 area (면적) * stress (응력) 와 같으므로 stress 와 area 을 곱한 것이다.

맨 위의 그림을 참고하면 이해가 쉽게 될 것이다.

는 그대로 을 대입 했다.

is force. Because, the force is same as area times stress, it is same as stress times area .

You can understand it easily using the figure at the top of this post.

이번에는 같은 과정을 꺼꾸로 해보자.

Now, let's try same process to opposite way.

먼저 를 apply 한다.

그 다음 을 작용하면, 만큼의 deformation (변형) 이 일어난다.

은 다음과 같은 표현으로 바꿔 줄 수 있다.

First, apply .

Than, if the stress is applied, there will be deformation .

can be expressed as follow.

이제 이걸 Maxwell reciprocal theorem 의 공식에 대입해보자.

Now lets plug in to the equation of Maxwell reciprocal theorem.

그럼 두 가지 방법으로 cube 를 변형시키더라도, 한 일은 같으므로 다음과 같은 관계가 성립 한다.

Although we deformed the cube using two different process, following relationship can be satisfied, because the work done is still same.

AE522 1.6 포스트에서

We said that there is following relationship in AE522 1.6 post.

이라고 했는데, 위와 같은 관계가 있기 때문에 그런 것이었다.

And that is because that there is the relationship that we have solved in this post.

일반화를 하면, 다음과 같은 관계를 갖는다고 표현 할 수 있다.

If we normalize it, we can say that there is the relationship as follow.

와 뿐만 아니라 와 그리고 와 의 관계를 위와 같은 방법으로 유도 해도 같은 결과를 가져온다.

Not only , but also , and , have same relationship and they can be found using same solution.

AE522 1.7 Maxwell Reciprocal Theorem

2009-07-27T14:00:00.000-04:00

이전 포스트에서는 Poisson’s ratio 와 가 어떻게 다르고 어떤 관계를 갖는 알아보겠다고 했다.

On last post, I said that we will discuss about the difference of Poisson’s ratio and .

하지만, 그전에 두 Poisson’s ratio 가 어떻게 다른지 알아 낼 수 있게 하는 도구 하나를 소개하겠다.

Maxwell Reciprocal Theorem 이 그 도구가 되겠다.

이론 이라 하니 머리가 좀 아플 듯 하지만, 결론은 우리가 중학교 시절에 배운 force (힘) * distance (변위) 는 work (일) 라는 것이다.

다음 그림을 살펴 보자.

However, before we discuss about difference of the two Poisson’s ratio, I will introduce a method which can find the difference of them.

The method is Maxwell Reciprocal Theorem.

The theory looks like to make us headache, but the conclusion is that work is force times distance, which we already learned in middle school.

Let check the figure below.

이상한 형체라서 뭘 말하고 싶은지 모르겠다..;;

여기서는 형체가 중요한 것이 아니다.

It hard to understand what the figure want to say because of strange shape.

It this case, the shape is not big deal.

일단 2 set 의 load (외력) 가 있다고 하자.

Let's say there is 2 sets of load.

또는 where m = 1, 2, 3, … , M

또는 where n = 1, 2, 3, … , N

먼저 들을 apply 하고 (작용시키고), 그 다음 들을 apply 한다.

그러면 때문에 만 apply 되던 물체의 형체는 변형이 될 것이고, 그 물체의 각 입자들의 위치가 이동하게 될 텐데, 그 움직인 변위를 라고 하자.

여기서 역시 m = 1, 2, 3, … , M 이다.

그러면, 여기서 들 때문에 들이 더 하게 된 일을 모두다 합친 것을 다음과 같이 표현 할 수 있다.

Apply the first, next apply .

Than, the shape of the body which is applied only first will be deformed due to , and the location of each particle of the body will move. Let's say the distance as .

In this case, m of is m = 1, 2, 3, … , M either.

Than the summation of work done by due to can be expressed as follow.

결론은 위에서 말했듯이 force (힘) * distance (변위) 는 work (일) 를 다 합친 것이다.

여기서는 두 vector 를 dot product 를 한다는 것을 잊지 말자.

The conclusion is, as we said above, that summation of work is force times distance.

This this case, the dot product is used for the two vectors.

이번엔 꺼꾸로 해보자.

Now, let's try in backward.

먼저 들을 apply 하고 (작용시키고), 그 다음 들을 apply 한다.

그러면 때문에 만 apply 되던 물체의 형체는 변형이 될 것이고, 그 물체의 각 입자들의 위치가 이동하게 될 텐데, 그 움직인 변위를 라고 하자.

여기서 역시 n = 1, 2, 3, … , N 이다.

그러면, 여기서 들 때문에 들이 더 하게 된 일을 모두다 합친 것을 다음과 같이 표현 할 수 있다.

Apply the first, next apply .

Than, the shape of the body which is applied only first will be deformed due to , and the location of each particle of the body will move. Let's say the distance as .

In this case, m of is m = 1, 2, 3, … , M either.

Than the summation of work done by due to can be expressed as follow.

어떤 load 를 먼저 apply 하고, 나중에 apply 함에 따라 한 work 에 대한 표현은 달라진다.

그런데, 위에 형상을 두고 생각해보면, 어떤 load 를 먼저 주고 나중에 관계 없이 만약 두 set 의 load 들 모두 각각 같은 방향과 양 만큼 apply 했다면, 두 load 를 모두 주고난 다음의 형체의 형상은 같을 것이다.

즉. 똑같이 찌그러들 것이라는 것이다.

그렇다면, 결국 둘이 한 work 의 양은 같다는 것이다.

그래서 다음과 같은 관계가 성립 된다.

The expression of work done is changes depend on which load is applied first.

If we think about the figure above, regardless which load is applied first, the deformed shape will be same after applying the two set of load, if the same two set of load is applied.

It means, they will be deformed to the same shapes.

Than, they will have same value of work done.

Thus, the relationship of below will satisfied.

이제 도구를 알았으니, Poisson’s ratio 와 가 어떻게 다르고 어떤 관계를 갖는지는 다음 포스트에서 확인하면 된다!! ㅎㅎㅎㅎㅎ

Now we learned the method, let's check the differance of Poisson’s ratio and on next post!!hhhh

DC-Boston-NY: Eastside Train Trip

2009-07-24T14:00:00.000-04:00

드디어 첫 여행 포스트 입니다!!!

여행 루트 먼저 보시죠!!

View Deland-DC-Boston-NY in a larger map

루트는 다음과 같아요.

Deland, FL -- Washington DC -- Boston, MA -- New York, NY -- Deland, FL

이동 수단은 전 구간 Amtrak 기차 입니다!~~~~ ^_^

기차여행이다!!! 유휴!@!!

파란색 Placemark 를 하나씩 클릭 해보시면 어디인지가 말풍선이 뜨면서 나와요.

더 큰 화면에서 시원 시원 보시려면 지도 밑의 링크를 클릭해보세요.

계획도 세우고, 열차 티켓은 1-800-USA-RAIL 에 전화해서 물어보니, 역에 가서 사면 된다고 하고, 유스호스텔 예약은 www.hostels.com 에서 인터넷으로 끝냈고 했으니 짐만 챙기면 되군요!

열차 티켓은 Amtrak USA Rail Pass 로 해결!

인터넷으로 www.amtrak.com 을 뒤져보니, 동부지역만 다니면 되니 동부권으로 구입하면 되군!!

비수기간엔 동부지역은 $210 이면 열차표는 15일 동안 맘데로 쓸 수 있어요. ㅎㅎ

열차 시간표는 Amtrak 홈페이지에서 확인하였고 했으니…

이 정도면 2006년 3월 봄방학 여행계획은 충분하겠죠???

2006년 3월

18일 토 Deland, FL 출발

열차에서 1박

19일 일 Washington DC 도착

유스호스텔 2박

21일 화 Washington DC 출발

열차에서 1박

22일 수 Boston, MA 도착

유스호스텔 1박

23일 목 Boston, MA 출발, New York, NY 도착

유스호스텔 2박

25일 토 New York, NY 출발

열차에서 1박

26일 일 Deland, FL 도착

총 9 일

1 주일 있는 봄 방학을 아주 꽉 채웠다요!! ㅎㅎㅎㅎ

이제 DC, Boston, NY 에서 뭘 보고 놀지 인터넷으로 뒤지기만 하면 되겠군요!!

사진 따라, 지도 따라 Space Flux 여행을!

2009-07-23T14:00:00.000-04:00

이제 슬슬 Travel Bug 카테고리에 포스팅 하는 것을 시동 걸어 볼까 합니다.

Space Flux 의 Travel Bug 를 통해 색다른 여행을 즐겨보세요!

제가 알려드리는 것은 장소 정보와 지도 그리고 사진 입니다.

다른 제가 하고 싶은 코멘트는 가려두기로 가려두겠습니다.

장소 정보와 지도 그리고 사진으로 그 공간을 따라가보세요!~

자신이 여행하는 것처럼요!

공간의 흐름을 따라 따라..

그래서 Space Flux 공간 흐름 입니다.

혹시 다른 사람이 나오면 같이 여행하는 친구라고 생각 하세요~

비행기를 탄다면, 비행기를 타고 있는 것이고, 기차를 타면 기차를 타고 이동하고 있는 것이지요!~

뭔가 먹고 있다면, 여행하다 배를 채우는 겁니다.. ㅎㅎ

제 맘데로 찍은 것이지만~ 같이 여행을 즐기실 분들은 즐겨보세요~

제 코멘트는 가려두기 때문에, 그 공간에서 느끼는 느낌은 보시는 사람마다 다르게 느낄 수 있으실 거라 믿어요~

실제로 여행할 때도 공간이 뭐라 말하는 것이 아니라 자기가 그 공간을 느끼는 것 이니까요~

뭐,, 장소의 선택권은 없지만,, 보시는 분 각자의 여행을 떠난다는 느낌으로 즐겨 보세요!~

그럼, 모두들! 즐거운 여행 되세요!! ^^

AE522 1.6 Engineering Properties for Orthotropic Material

2009-07-22T14:00:00.000-04:00

이번에는 compliance matrix 의 component 하나 하나가 무엇을 의미 하는지 알아 볼 것이다.
In this lecture, we gonna discuss about meaning of each component of compliance matrix.

Normal Stress - Strain Compliance Matrix

AE522 1.5포스트에서 compliance matrix 를 간소하게 나타낸 모양이 다음과 같았다.

On AE522 1.5 post, the shape of simplified compliance matrix was this;

여기에서 compliance matrix 의 각 component 를 구하기 위해 다음 그림들을 통해 더 간단하게 나누어 볼 것 이다.

To find the each component of compliance matrix, we are going to divide the figure on below to simpler form.

위 그림은 local coordinate system 에 따라 간단히 infinitesimal cube 에 작용하는 stress 들을 나타낸 것이다.

이 stress 들은 다음과 같이 나누어서 개별적으로 생각해 볼 수 있다.

The figure above discribe the stresses applied on infinitesimal cube following local coordinate system.

Those stresses are can be divided as below;

Infinitesimal cube 하나에 stress 가 하나씩 적용하도록 나눴다. 매우 간단해졌다! 하핫핫!

It had been divided to several cubes which are applied one stress on each cube. It had been extremly simplified! hahaha!

( i ) 의 경우를 살펴보자. Hooke’s Law 에 따라 다음과 같은 경우가 성립 하게 될 것이다.

Let's check the case ( i ). Following Hooke's Law, below can be satisfied.

여기서 는 1 - direction 으로의 Young’s modulus (modulus of elasticity) 이다.

In this case, is Young’s modulus (modulus of elasticity) to direction 1.

나머지 strain 을 정의 하기 위해 Poisson’s ratio 공식을 사용하자.

그러고 보니, poisson 이 발음도 [푸와송] 이라고 불어식으로 하는데, 그럼 불어로는 물고기라는 뜻이니까 물고기의 공식인건가??;;; 아무튼 공식은 다음과 같다.

To define other strains, let's use the equation of Poisson's ratio.

We pronounce the poisson as [pwasç] which is franch pronunciation, than because it means fish in french, can we call it as fish equation??;; Anyway the equation is below;

위의 Poisson’s ratio 를 따르면, 와 는 다음과 같이 나타낼 수 있다.

Following the Poissong's ratio, and can be denoted as follow;

각각 와 으로 전개 하고 을 대입하면, 다음과 같은 결과를 도출 할 수 있다.

Solving each of them to and , and than if we pulg in , following consequences will be obtained.

감이 잡히는가? 이 결과들이 어떤 모양을 가질지?

이제 이 결과들을 행렬로 표현을 해보자.

Did you got the sense what shape can be made form these consequences?

Let's express them by matrix.

이와 같은 과정을 두 번 더 해서 옆으로 쌓으면 된다.

What we have to do is just do two more same process and cumulate them to the side.

( ii ) 의 경우에는 다음이 성립된다.

여기서 는 2 - direction 으로의 Young's modulus 이다.

For case ( ii ), following can be satisfied.

In this case, is Young’s modulus (modulus of elasticity) to direction 2.

( iii ) 의 경우에는 다음이 성립된다.

여기서 는 3 - direction 으로의 Young's modulus 이다.

For case ( iii ), following can be satisfied.

In this case, is Young’s modulus (modulus of elasticity) to direction 3.

이 ( i ), ( ii ), ( iii ) 세 경우 모두 종합해서 하나의 행렬로 나타내면, 다음과 같아진다.

If ( i ), ( ii ), ( iii ) are cumulated, they can be expressed as one matrix as below;

결국 normal stress - strain 에 대한 compliance matrix 는 다음과 같은 관계가 성립 한다고 할 수 있다.

Finally, the relationship of normal stress - strain of compliance matrix can be expressed as below;

Shear Stress - Strain Compliance Matrix

6 x 6 compliance matrix 를 간소하게 나타냈을 때 도출 되었던 또 다른 식이 shear 에 관한 식이었다.

This the other equation, which is for shear, when 6 x 6 compliance matrix was simplified.

이 경우는 매우 간단하다.

1 행의 shear strain 을 따로 식으로 나타내면 다음과 같아진다.

In this case, it is really simple.

Shear strain equation of first row can be rewritten as follow;

그런데, shear strain 과 shear stress 는 다음과 같은 관계가 성립된다.

However, the shear strain and shear stress has the relationship as below;

즉, 다음과 같다는 것이다.

So, following can be satisfied;

나머지 경우도 마찬가지로,

For rest cases also can be obtained in same way.

결국 shear stress – strain 에 대한 compliance matrix 는 다음과 같은 관계가 성립 한다고 할 수 있다.

Finally, there can be the stress - strain relation to the compliance matrix.

Compliance Matrix

위의 두 compliance matrix 를 합쳐서 6 x 6 compliance matrix 로 나타내면 다음과 같이 된다.

If we combine the two compliance at once, it can be expressed as a 6 x 6 compliance matrix as following.

그런데 분명, orthotropic material 은 independent 한 변수를 9개 가진다고 했는데, 여기에는 다음과 같이 12 개가 있다.

However, there is 12 variables although that the orthotropic has only 9 independent variables.

, ,

여기서 주의 할 것은

In this case, we need to watch out the relation of below.

이라는 것이다.

변수 12개를 9개로 줄이는 방법은 다음 포스트에 이어지니 다음 포스트를 기다려 주세요!

The technique to reducing the 12 variable to 9 variable will be presented on next post! Please wait for the next post!

AE522 1.5 Compliance and Stiffness Matrix of Otrhotropic Matrial

2009-07-21T14:00:00.000-04:00

Orthotropic material 의 compliance 와 stiffness matrix 는 1, 2, 3 행 4, 5, 6 열 과 4, 5, 6 행 1, 2, 3 열 이 모두 0 이기 때문에 더 간단히 나타낼 수 있다. 간단한 것은 언제나 좋다. ^^

The compliance and stiffness matrix of orthotropic material can be simplified because they have their value 0 for row 1, 2, 3, column 4, 5, 6, and row 4, 5, 6 and column 1, 2, 3. Simple is always good for us. ^^

Stiffness matrix 를 쓴 경우는 원래 6 x 6 matrix 로 이렇게 표현 하였다.

Originally, stiffness matrix was expressed as below when 6 x 6 matrix was used.

이걸 3 x 3 matrix 로 간단히 표시하면 다음과 같이 표현 할 수 있다.

Now, if it is simplified, it can be expressed like ths;

Compliance matrix 를 쓴 경우 원래 6 x 6 matrix 로 이렇게 표기 하였다.

Originally, compliance matrix was expressed as below when 6 x 6 matrix was used.

이걸 3 x 3 matrix 로 간단히 표시하면 다음과 같이 표현 할 수 있다.

It can be simplifed as below by 3 x 3 matrx.

이런 식으로 orthotropic material 의 compliance 와 stiffness matrix 가 친숙한 3 x 3 matrix 로 간단히 표현 될 수 있다.

간단하게 표현됨으로써 얻는 점은 복잡할 때는 잘 보이지 않던 것이 잘 보이게 된다는 것이다.

이렇게 간단하게 표현해서 뭘 얻는지는 다음 포스트에서 확인 할 수 있다. ;)

As above, the compliance and stiffness matrix of orthotropic material can be expressed as 3 x 3 matrix which is more simple and familiar.

Now we may find which coundn't found when it was complicate.

You can check what can we find from that on next post.

한가지 미리 알려드리자면, orthotropic material 은 normal stress - strain relation 과 shear stress - strain relation 은 coupling 되어있지 않다는 것이다. 즉, 따로 따로 가지고 놀 수 있다는 것이다.

In addition as instance, the orthotropic material is decoupled for the normal strss - strain relation ans shear stress strain relation, which means we can play with them separately.

AE522 1.4 Compliance Matrix and Stiffness Matrix

2009-07-20T14:00:00.000-04:00

Compliance Matrix 가 뭐고 Stiffness Matrix 가 무엇이라고 하면, 다음 행렬의 관계를 보면 쉽게 이해 될 수 있다.

If you check the relation of matrixes below, you may catch what is Compliance Matrix and Stiffness Matrix.

위의 수식은 stress tensor 와 strain tensor 가 서로 뒤바뀐 수식이다.

둘 다 stress 와 strain 의 관계를 연결 시켜주는 인자 이지만 서로 반대로 이어주고 있다.

On the equation above, the stress tensor and strain tensor are switched.

Both of them are relate the stress and strain but they connect them opposite ways.

Stiffness Matrix 는 이름 그대로 어떤 물질의 stiffness 를 나타내고 다음과 같이 나타낸다.

Like as its name, stiffness matrix express stiffness of a material and it can be expressed as below.

Compliance Matrix 는 stiffness matrix 의 역행렬 이다.

Compliance matrix is inverted matrix of stiffness matrix.

둘의 관계는 역행렬 관계 이므로 다음과 같이 나타낼 수 있다.

The relationship of two of them can be expressed like this;

여기서 compliance matrix 는 이름은 c 로 시작하지만, matrix 는 로 표기 하고, stiffness matrix 는 이름은 s 로 시작하지만, matrix 는 로 표기 한다는 것을 유념하자. 서로 반대이다.

Note that compliance matrix is denoted as although its name starts with c, and stiffness matrix is denoted as although its name starts with s. Both of them are opposite.

앞으로 이 와 에 대해서 자세하게 탐구하게 된다.

We will research about , intensively.

AE522 1.3 Types of Stress and Strain Relation

2009-07-17T15:21:00.000-04:00

이전까지는 Solid Mechanics 의 복습이라 할 수 있었다.

이제 본격적으로 composite material 에 관련된 것을 살펴보자.

세상에는 여러 종류의 물질들이 있고 제각기 다른 특징을 갖는다.

물질의 material property 에 대한 대칭성으로 분류를 한다면 다음과 같은 종류의 stress 와 strain 관계들로 나눌 수 있다.

Previous lectures are could be said as review of Solid Mechanics.

Now, let's talk about composite material.

The materials in the world have its own characteristic.

If we classify by symmetricity of material property, there can be these kinds of stress and strain relations.

1D Hooke’s Law for Isotropic Material

Normal stress 에 대해서는 다음과 같다.

The Hooke's Law can be discribed like this for normal stress;

Shear stress 에 대해서는 다음과 같다.

For shear stress, it can be expressed like this;

여기서 E 는 modulus of elasticity (탄성율) 이고, G 는 shear modulus (전단 탄성율) 이다.

이 식은 1D 즉 1 차원의 수식이기 때문에 E 와 G 는 1 차원 상수 이다.

이 둘의 관계는 다음과 같다.

E is modulus of elasticity and, G is shear modulus.

E and G are 1 dimetional constants, because the equation is for 1D.

The two of them has this relationship;

여기서 는 poisson’s ratio 이다.

참고로 poisson’s ratio 에 대해서 설명 하자면, 가 x 방향 길이 strain 이고, 가 y 방향 길이 strain 이라면, 은 다음과 같이 정의 될 수 있다.

On this equation, is poisson's ratio.

For referance, if is length strain of x direction, and is length strain of y direction, can be defined as below.

즉, 가로 strain 과 세로 strain 의 비율 이다.

It's the ratio of strain of x direction and y direction.

Anisotropic Material

이제부터는 3D 즉 3 차원으로 물질의 stress, strain 관계로 보겠다.

Anisotropic material 은 다음과 같이 나타낼 수 있다.

Now, let's discuss about stress and strain relation of materials in 3D condition.

Anisotropic material can be expressed like below.

를 stiffness matrix 라고 하는데, 1D Hooke’s law 에서 E 나 G 의 역할을 하는 행렬 이다.

여기서 는 모두 다른 변수 이다. 물론 값은 같을 수도 있지만, 다를 수도 있다는 것이다.

하지만 이런 경우는 존재 하지 않고, 다음을 만족시켜야 한다.

is called as stiffness matrix, and it act like E or G of 1D Hooke’s law.

In this case, each of are different variables. Ofcourse it can have same value but still it can have different values.

However, this case does not exist in real world, and it need to satisfy below.

즉 symetrical matrix 가 되어야 한다. 그래서 다음과 같이 나타낼 수 있다.

It have to be a symetrical matrix. So, we can rewrite as below.

Anisotripic Material 은 stiffness matrix 에 21 개의 independent 한 (독립적인) 변수가 존재하게 된다.

stress 를 주는 방향에 따라서 이 물질의 strain 은 일정치 않게 변하게 된다.

또한 이 물질의 어떠한 면을 잘라서 비교해봐도 대칭성을 찾을 수가 없다.

이런 물질은 암석 같은 돌덩이 같은 것이 될 수 있다. 이런 물질은 실용적인 의미를 갖고 있지 않는다.

Anisotripic Material has 21 independent variables in its stiffness matrix.

As appling stresses, the strains of this type of material deforms irregularly depend on direction.

Moreover, the symmetricity cannot found form this type of material although compare every cross sections.

Stones or rock could be included in this type of material. This kind of materials do not have any practical meaning.

Monoclinic Material

만약 어떤 물질이 한 면에 대해서 symmetry (대칭) 하다면, monoclinic material 이라고 한다.

1-2 plane 에 대해서 symmetry 하다면, 다음과 같은 stress, strain relation 이 만들어 질 수 있다.

It a material is symmery to one plane, it could be said as monoclinic material.

If it is symmetry for 1-2 plane, this kind of stress, strain relation can be exist.

Monoclinic material 은 13 개의 independent 한 변수를 갖게 된다.

Monoclinic material has 13 independent variables.

Orthotropic Material

만약 어떤 물질이 두 orthogonal planes 에 대해서 symmetry 하다면, orthotropic material 이라고 한다.

1-2, 1-3 plane 에 대해서 symmetry 하다면, 다음과 같은 stress, strain relation 이 만들어 질 수 있다.

If a material is symmetry for two othogonal plane, it can be called as orthotropic material.

If it is symmetry for 1-2, 1-3 planes, there can be this stress and strain relation.

Orthotropic material 은 9 개의 independent 한 변수를 갖게 된다.

Orthotropic material has 9 independent variables.

Orthotropic material 의 를 구성하는 변수들도 역시 9 개의 변수 이다.

The number of varialbes which constitute the of orthotropic material also 9.

, ,

Composite material 의 한 장의 ply 또는 lamina 나 unidirection laminate 가 orthotropic material 에 속한다.

A ply, lamina or unidirectional laminate can be included in orthotropic material.

Trensversely Isotropic Material

Trensversely isotropic 이라 함은 isotropic 상태에 충분히 가까운 상태라는 것이다.

만약 1-2 plane 에 대해서 laminate 가 [(0/+45/-45/90)s] 즉, 0 도, +45 도, –45 도, 90 도, 90 도, –45 , +45 도, 0 도 방향으로 laminate 를 쌓아 올렸다면, 1-2 plane 둘래 방향으로 어느 방향으로 stress 를 작용 해도 효과는 거의 비슷하기 때문에 그 방향들로는 isotropic 하다고 가정을 하는 것이다.

이러한 재료의 stress, strain relation 은 다음과 같이 나타낼 수 있다.

Trensversely isotropic means it is close enough to isotropic condition.

It can be assumed as isotropic to the directions, because the effect came out similar enough for every directions around the 1-2 plane, when stresses are applid to that directions, if a laminate is layed up as [(0/+45/-45/90)s] , aka 0 deg, +45 deg, -45 deg, 90 deg, 90 deg, -45 deg, +45 deg, 0 deg for 1-2 plane.

Stress, strain relation can be expressed as below for this type of materials.

Trensversely isotropic material 은 5 개의 independent 한 변수를 갖게 된다.

Trensversely isotropic material has 9 independent variables.

Isotropic Material

Isotropic material 은 어떤 방향에서든 material property 가 같기 때문에 무한의 대칭성을 갖게 된다.

Isotropic material 의 stress, strain relation 은 다음과 같이 나타낼 수 있다.

Isotropic materials have infinite number of symmetricity, because they have same material property for every direction.

The stress, strain relation of isotropic material can be expressed as below.

Isotropic material 은 단지 2 개의 independent 한 변수를 갖게 된다.

Isotropic material has only 2 independent variables.

우리가 composite material 에서 다룰 물질들은 orthotropic 이거나 trensversely isotropic material 에 속한다.

Othotropic 이거나 trensversely isotropic material 이어야 우리가 원하는 방향으로 stiffness 를 강하게 줄 수 있도록 조절 할 수 있기 때문이다.

즉, orthotropic 이거나 trensversely isotropic material 이어야 composite material 로 쓸모가 있다는 것이다.

The composite materials are mostly orthotropic or trensversely isotropic material.

The composite materials need to be orthotropic or trensersely isotropic material so that we can give strong stiffness to the directions where we want.

Composite materials are need to be orthotropic or trensversely isotropic material for prectical use.

AE522 1.2 Stress and Strain

2009-07-16T19:41:00.000-04:00

Stress

위 그림은 1.1 Sign Convention 에서 stress 가 변형되는 기울기를 0 으로 두고 간단하게 바꾼 그림이다.

The above is the figure simplified the figure in 1.1 Sign Convention by putting the slope to 0.

이 것을 수식으로 간단히 표현을 하자면 다음과 같이 표현 할 수 있다.
It could be expressed as a simple equation like this:

where,

if , Normal stress

if , Shear stress

위에서는 아랫첨자 둘로 표현을 했는데, 아랫첨자가 문자 하나로 된 경우는 언제나 normal stress 이다.
On above, two lower subscript was used, but if it has only one lower subscript, it is normal stress.

Strain

Strain 도 역시 normal strain 과 shear strain 으로 나뉠 수 있다.

Strain (변형율) 이라는 이름에서도 알 수 있듯이 변형된 비율을 말한다.
Strain also devided to normal starin and shear strain.

Strain means the ratio of deformation.

Normal Strain

위의 그림과 같이 x 방향으로 P 라는 normal force 가 어떤 재료에 작용을 한다면, 아주 작지만 조금이라도 x 방향으로 길이가 늘어날 것이다. 마치 고무줄이나 스프링처럼 말이다.

As shown above, if there is a normal force amount of P to x direction, it will be extended to x direction although it is really small deformation. It's like a rubber band or spring.

원래의 길이가 이라고 하고, 늘어난 길이는 이라고 하면, normal strain 은 다음과 표현 될 수 있다.

If the original length is , and the extended length is , normal strain can be expressed as below:

여기서 중요한 점은 normal strain 은 "length (길이)"의 변형만 나타낸다는 것이다.

Note that the normal strain denote only deformation of "length"

Normal strain 의 표현 방법은 다음과 같다.

Normal strain can be expressed like this:

where,

또는

where,

And,

참고로, normal force 를 normal stress 로 표현을 하자면, cross sectional area (단면적) 을 A 라고 한다면,

In additionally, the normal stress can be expressed like below, if the P is normal force and A is cross sectional area.

이라고 할 수 있다.

Shear Strain

어떤 재료에 shear stress (전단 응력) 을 작용하게 되면 아주 작겠지만, 각도가 일그러진다.

If a shear stress is applied to a material, there will be angular deformation, although it is really small.

원래의 각도가 이었고, 변형된 각이 와 이라면, shear strain 은 다음과 같이 나타 낼 수 있다.

If the original angle was , and the deformed angle are and , the shear strain can be expressed below:

Shear strain 은 길이를 변형 시키는 normal strain 과 다르게 "angle (각도)" 만 변형 시킨다. 여기서의 shear strain의 단위는 rad 이다.

Compare to normal strain which deform only length, the shear strain deforms only "angle". The unit of shear strain is rad.

Shear strain 의 표현 방법은 크게 두가지 방법이 있다. Tensor strain 으로 표현하는 것과 Engineering strain 으로 표현하는 것이다.

Basically, there is two expression to denote shear strain; tensor strain and engineering strain.

먼저 Tensor strain 으로 shear strain 을 표현하면 다음과 같다.

First, tensor strain of shear strain is expressed like this:

where,

And,

Engineering strain 으로 표현하면 다음과 같다.

And, engineering strain or shear strain is expressed like this:

where,

And,

Tensor strain 과 engineering strain 표현 방식의 관계는 다음과 같다.

The tensor strain and engineering strain or shear strain have this relationship.

where,

보통 engineering strain 으로 즐겨 표현을 한다. 하지만, engineering strain 으로 사용 할 때는 후에 행렬 변환을 할 때에 주의를 해야 한다. Tensor strain 으로 바꿔서 행렬 변환을 해줘야 하기 때문이다. 그렇지 않으면 구하고자 하는 답은 나올런지 모르겠지만,, 많이 힘들게 된다.

Normally, the engineering stratin expression is used. However, there needs caution for using engineering strain expression when we do matrix transform. Because we need to change it to tensor strain. If not, there may come out the required answer, it would be really hard to get it.

참고로 scalar, vector, tensor 를 비교하자면 다음과 같다.

For reference, scalar, vector, tensor is compared.

	Scalar	Vector	Tensor
변수 갯수 Number of Variables	1	3	6
표현하는 것 what is expressed about	방향이 없는 값 none directional value	방향 별 값 values for each direction	길이 변형율과 각도 변형율 또는 그외 변 수 6개 묶음으로 표현할 필요가 있는 경우 length strain or angular strain or other values which need to be expressed 6 values as a set
표현 예시 expression example

AE522 1.1 Sign Convention

2009-07-16T01:06:00.000-04:00

어떤 입체 형상을 설명하기 전에 Sign Convention (부호 정의) 를 할 필요가 있다.

Before we start to discribe a solid body, definition fo the sign convention is required.

위와 같은 방향이 positive direction (양의 방향) 들 이다.

Aboves are the positive directions.

직접 손이 아닌 컴퓨터로 그리니 시간이 꾀나 걸리더군요..

It taked pretty much time to draw it...

각 부호에 대한 설명을 하면 다음과 같다.

The discription of each simbols are shown below.

coordinate x, y, z : Global / Structural coordinate system (전체 / 구조 좌표 시스템)
공간에 고정되어 움직이지 않는다.
It is fixed on space, and does not rotate.

coordinate 1, 2, 3 : Material coordinate system (물체 좌표 시스템)
1번 방향을 fiber 방향으로 정의 한다. Fiber 방향이 바뀜에 따라 방향이 바뀐다.
The fiber direction is determined as direction 1. It rotate as the fiber diretion is changed.

x-y plane = z plane
Global coordinate 의 z 방향으로 중심에서 따라 나오다보면 만나는 평면이다.
A plane perpendicular to z direction of global coordinate.

x-z plane = y plane
Global coordinate 의 y 방향으로 중심에서 따라 나오다보면 만나는 평면이다.
A plane perpendicular to y direction of global coordinate.

y-z plane = x plane
Global coordinate 의 x 방향으로 중심에서 따라 나오다보면 만나는 평면이다.
A plane perpendicular to x direction of global coordinate.

dx, dy, dz : Infinitesimal length (미소 길이)
작게 잘라 놓은 미소 입자라서 무진장 작은 길이라는 뜻으로 d 를 붙여서 표현 한다.
Very short length of a particle, and it is expressed using d.

, , : Body Force (내력)
전자기력, 강력, 만유인력 등이 될 수 있는데, 이 포스트에서는 다룰일이 없다.
It could be electromagnetic force, strong force, universal gravitation, but it would not be mantioned in this post.

, , : Normal Stress (인장 응력)
각 방향별로 작용하는 tensile stress 이다. 평면에서 normal 방향 즉 직각 방향으로 작용하기 때문에 normal stress 라고 한다. 평면에서 밖으로 나가는 방향이 항상 양의 방향 이다.
Tensile stresses applied to each direction. It is called as normal force because it is applied to normal direction to a plane. The direction from a plane to outward is always positive direction.

, , : Normal Stress at opposite side (반대 면의 인장 응력)
dx, dy, dz 만큼씩 이동된 면의 stress 이다. , , 은 stress 가 바뀌는 비율이다. 즉 함수의 그래프를 그릴 때의 기울기가 된다. 결국 dx, dy, dz 만큼씩 이동하면 , , 만큼씩 stress 가 늘어나게 된다. 물론 기울기가 0 보다 작다면 줄어드는 것이다. 여기서는 stress 가 dx, dy, dz 구간에서는 선형적으로 변한다는 가정이 있기 때문에 위와 같은 수식을 쓸 수 있는 것이다. 유도 과정은 AE502 Strength and Fatigue of Materials 의 내용이기 때문에 생략한다. 이번 AE522 포스트에서는 기울기도 0 이라고 가정하기 때문에 결국 , , 으로 가정이 된다. 여기서는 이 stress의 방향 역시 면에서 밖으로 나가는 방향이 양이라는 것을 유념하길 바란다.
It is the stress which is applied at the plane which is placed at dx, dy, dz distance. , , are the ratios that the stresses are change. Aka, slopes. If the slope is less then 0, the stress decreases. That expresstion can be used because there is a assumption that the stress changes linearly for dx, dy, dz interval. The solving process will be omitted because it is for AE502 Strength and Fatigue of Materials course. In AE522 the slope is assumed as 0, so it becomes as same as , , . Please note that the positive direction of these stresses are also outward direction of plane.

, , , , : Shear stress (전단 응력)
각 면에 작용하는 shear stress 이다. , 을 예를 들자면, Global cooridate system 에서 양의 방향의 x plane 즉, y-z plane 에 있는 shear stress 의 첫번째 아랫 첨자는 x 가 된다. 두번째 아랫 첨자는 shear stress 방향이 z 방향이면 xz 가 되고, y 방향이면 xy 방향이 되는 것이다. 즉, 양의 방향의 평면에서 나머지 양의 방향으로 따라가면 그 shear stress 방향은 양의 방향인 것이다. 나머지도 마찬가지 이다.
The shear stresses applied on each plane. If we use the , as example, the first lower subscript of shear stress at x plane, aka y-z plane, at positive direction of global cooridate system becomes x. The second lower subscript becomes xz if the direction of shear stress is z, or it becomes y if the direction of shear stress is xy. In conclution, shear stress become positive shear stress if it follows the positive direction of coordinate system on a plane on positive direction. The rest of them are can be determined same way.

, , , , , :Shear Stress at opposite side (반대 면의 전단 응력)
이 경우는 Global coordiate system 에서 음의 양향에 있는 평면에 작용하는 shear stress 들이다. 위와는 반대로 음의 방향의 평면에서 Global coordiate system의 음의 방향으로 따라가는 shear stress 가 양의 방향이다. 이 shear stress 들도 normal stress 와 마찬가지로 이번 포스트에서는 기울기를 0 으로 가정한다.
In this case, these are the shear stresses applied on plane which is located at negative direction form global coordiate system. Conversely from above, The shear stresses have positive direction which follow the negative direction of coordinate on the plane at negative direction. Like as normal stresses, the slopees of shear stresses will have 0 value in this post.

Sign convention 은 사람들이 간과하는 경우가 많다. +, - 일 뿐이라고 생각하고 그냥 지나친다. 하지만, 상당히 중요한 개념이다. 항상 여기서 시작하면 문제해결을 할 때 틀리는 경우가 거의 없다. 하지만, sign convention 에 대한 기본 개념이 잘 잡혀 있지 않다면, 자기 자신이 햇깔려서 결국 이상한 수치만 도출해내게 된다. 자신의 결과가 tension (인장) 인지 compression (압축) 인지 판단 하기도 어렵게 된다. 그러한 학생들을 수도 없이 많이 봐왔다. AE502 Strength and Fatigue of Materials 수업에서는 이 부분에 대해 꾀 많은 시간을 투자하여 강의 하며 학생들에게 통째로 사진을 찍듯이 머리에 각인하도록 한다.
Most people do not mind the sign convention. They just think it as + or - . However, it is very significant concept. If starts from this sign convetion, the solution brings right answer. But, the concept of sign convetion is not firm, the solution reaches to disorianted bizarre numbers. It's hard to determine if it is tenstion or compression. I have seen lots of that kind of students so far. In AE502 Strength and Fatigue of Materials course, the lecture share much time to this part, and let the student learn by their heart just like take picture in their head.

Sign convention 을 설명하면 좋은 것이 한 입자에는 어떤 stress 들이 작용하는지 한 눈에 파악할 수 있다는 것이다. 입자 하나에 작용하는 stress 는 저것이 다 이다. 이제 이 것들이 어떻게 작용하는지 지지고 볶으며 파악하면 된다..

On of the good thing when we explane the sign convetion is that we can projet all the stresses applied on a partice at once. All the stresses on a particle are only that on the picture above. Now, what we going to do is toss and fry the stresses so that we can analyze what's happen on there.

포스트를 두번 썼는데도 아직도 내 노트 한 페이지의 1/4 도 안 끝났습니다요....;;

We still working on a quarter of a page on my note, although it is 2nd post...;;;;

AE522 1. Anisotropic Elasticity

2009-07-14T22:29:00.000-04:00

Composite Material (복합재료) 에 대해 알기전에 이 세상에는 어떤 부류의 material (물질)들이 있는지 알 필요가 있다.

Composite Material 이 어떤 부류의 물질인 줄은 알아야지 무엇이 Composite Material 이고 아닌지 판단 할 수 있기 때문이다.

Before we start to learn about composite material, we need to know what types of material are in this world.

Because, we can determine what is composite material or not, after we know what type of material is composite material.

어떤 물질인지를 알아내는 방법은 물질의 material property (물성치) 를 보고 판단 할 수 있다.

물질이 가질 수 있는 material property 는 여러가지가 있다.

가장 손쉽게 알 수 있는 방법은 material property 를 정리한 테이블을 보면 무엇이 있는지 알 수 있다.

인터넷으로는 MatWeb ( www.matweb.com ) 에 가보면 정말 많은 material 에 대한 material property 를 찾을 수 있다. ( www.matweb.com )

Mechanics of Material (재료역학) 또는 Solid Mechanics (고체역학) 에서는 아래와 같은 material property 를 많이 접하게 된다.

A specific material can be determined by material property.

A material can have lots of material property.

A material property table tell us type of material properties easily.

Lots of material propertis of materials can be obtained through internet such as MatWeb.

Belows are the material properties which is used frequntly in studies of Mechanics of Material or Solid Mechanics.

Density (밀도)
Modulus of Elasticity (탄성률)
Tensile Strength (인장강도)
Shear Modulus (전단탄성률)
Shear Strength (전단강도)
Poissons Ratio (푸와송비)

이 외에도 thermal cunductivity (열전도율), melting point (녹는점), electrical resistivity (전기저항률) 등 하나의 물질이 가질 수 있는 material property는 많다.

A material could have more material properties such as thermal cunductivity, melting point, electrical resistivity, and etc.

물질은 크게 두가지 종류로 나뉠 수 있다. Isotropic material 과 Anisotropic material 이다.

Basically, materials can be devided into two types: Isotropic material and Anisotropic material.

Isotropic Material

Isotropic Material 은 모든 방향으로 material property 가 homogeneous 한 물질을 뜻한다.

간단히 말하자면, 모든 방향으로 물성치가 균일하다는 것이다.

Homogeneous 라는 뜻은 어느 한 물질이 있는데, 그 물질의 모든 부분에서 균일한 material property 를 갖는 경우를 뜻한다.

순수 물질이나 보통 합금들은 방향에도 관계 없이 항상 균일안 material property 를 같는다.

이러한 물질들을 통틀어 isotropic material 이라고 한다.

예를 들어 항공기에서 많이 쓰는 Al 2024 알류미늄 합금의 어떠한, 아무 부분을 잘라서 비교해보면 방향을 돌려도 항상 균일한 material property를 갖는다.

Isotropic materials are materials which have homogeneous material property for every direction.

Homogeneous means that every part of the material have same material property.

Usally, pure materials (substance) or alloys have homogeneous material property regardless directions.

For these kind of materials, we call it as isotropic materials.

For example, if we compare the pieces of Al 2024, which is used for aircraft widly, cut from every other places, they always have homogeneous material properties for any direction.

Anisotropic Material

Anisotropic Material 은 an 이란 접두사가 붙어 Isotropic Material 이 아닌 물질을 뜻한다.

방향에 따라 material property 가 다를 수 있는 물질이다.

Homogeneous 할 수는 있다. 그런데, 방향을 돌리면 material property 가 달라진다.

Composite material 대부분이 이 경우에 속한다.

왜냐하면 fiber 방향으로는 tensile strength 가 강하지만, 그렇지 않은 방향으로는 무지 약하기 때문이다.

하지만, 완벽하게 제조된 composite material, 특히 한장의 composite material, 이라면 어디를 잘라서 비교를 하던 같은 방향으로 같은 비율의 fiber 와 resin 이 있을 것이기 때문에 homogeneous 할 수 있다는 것이다.

종류에는 Graphite/Epoxy, Glass/Epoxy, 등등 사람들이 조합해 만드는데로 종류가 많아진다.

A prefix 'an' is used to denote that a anisotropic material is a material which is not isotropic material.

It means material properties of a material can be different as the direction is changed.

It can be homogeneous, but if the direction is changed, the material properties are changed either.

Most of composite materials are included in this type.

Because, tensile strength of a composite material is way stronger for fiber direction then other direction.

However, if every pieces of a perfectly fabricated composite material, spacially a lamina, are compared, they will have same ratio of fiber and resin and fibers will layed in same direction. That's way we can call it as homogeneous material.

There can be made lots of types of composite materials such as, Graphite/Epoxy, Glass/Epoxy, and etc.

이 포스트에서는 결국에는 composite material 의 strength 를 analysis 하는 것이 최종 목표이기에 Modulus of Elasticity (E) 에 대해 중점적으로 다루게 된다.

In this post, Modulus of Elasticity (E) will be dealed with significantly, because analyzing strength of composite material is final object after all.

Stress (응력) (σ) 와 strain (변형율) (ε) 그리고 modulus of elasticity (E) 은 다음과 같은 관계를 갖는다.

Stress(σ), strain(ε) and modulus of elasticity (E) have a relation below.

Mechanics of Material 또는 Solid Mechanics 을 해본 사람이라면 무진장 많이 봤을 공식이다.

You may have seen this equation so a lot, if you have done Mechanics of Material or Solid Mechanics.

Mechanics of Material 또는 Solid Mechanics 에서는 isotropic material을 다루었으므로, Modulus of Elasticity (E) 는 material property table 에서 "물질 하나에 하나만" 찾아서 쓰면 되었다.

Only one Modulus of Elasticity (E) was need for one material because only isotropic material was used in Mechanics of Material or Solid Mechanics.

그러나 composite material 은 anisotropic material 이기 때문에 modulus of elasticity (E) 가 방향에 따라 바뀌게 된다.

그러므로 만약 material property table 이 있다면, "물질 하나에 방향에 맞는 여러 값"을 사용해야 한다.

However, because a composite material is anisotropic material, the modulus of elasticity (E) changes by its direction.

Thus, if there is a material property table, suitalbe various material property should be used following its direction for a composite material.

그런데, 문제는 이 material property 를 3 차원으로 360 도 모든 방향에 주는 것이 아니라 x, y, z 방향 즉, 3차원 방향으로 90 도 방향씩만 해서 3 개만 주어진다. 또는 그냥 그 3 개도 다 있지 않을 수도 있다.

The problem is, the material properties are not given for every 360 deg in 3D. It is given only in x, y, z direction which is given only 3 material properties in every 90 deg in 3D. Or, there may be less then 3 material properties.

결론은 조금만 각도가 틀어져도 따로 계산해서 modulus of elasticity (E) 를 사용해야 한다는 것이다.

Composite material 에서는 modulus of elasticity (E) 가 더 이상 "constant (상수)"가 아니라 "variable (변수)"가 된다고 보면 된다.

The conclution is, although there is small angular chagne, modulus of elasticity (E) should be obtained by calculation.

For composite material, the modulus of elasticity (E) is not "constant" any more. It's "variable"

저 간단한 식이 그렇게 복잡해질 줄이야.. ㅎㅎㅎㅎㅎ ㅠㅜ

How the simple equation could be so complicated.. hehehehe TT

이 것 또한 잊지 말자! Composite material 역사가 짧은지라,, material property가 isotropic material 만큼 정리되어 있질 않다. 그리고 fiber 종류, resin 종류, fiber 와 resin 비율, fiber 방향, fiber 엮어둔 모양에 따라 material property는 변한다................ 물론 재조 과정에서도 변한다. 아무리 똑같이 만든다고 해도 실은 똑같지는 않다.

거기다가 그 안에 sensor 도 넣고, actuator 도 넣고, 상처가 났을 때 스스로 복구되는 repair curing resin 도 넣고, nano 단위 fiber도 넣고,,, 여러가지를 넣는 시도를 하고 있다. composite material 이름데로 여러가지를 넣으려고 한다.

이것 저것 짬뽕하는 것은 참 재미있는 시도이지만, ^^ 그걸 analysis 하려면 머리가 아프게 된다요..!!

Don't forget this! Because the history of compostie material is so short, there are few material properties for composite material, and they are not organized as well as isotropic materials.

Futhermore, the material properties are change as the type of fiber, the type of resin, the retio of fiber and resin, the direction of fiber, the woven shape of fiber are change......

Of coures, it is changed by fabrication process. Although they trying to make it identically, actually, it came out differently.

Moreover, people trying to put sensor, actuator, repair curing resin which makes the composite material healed by itself, nano fiber, and other lots of things. They trying to put lots of things just as its name; composite material.

Combining lots of things is pretty much fun experiment. but,, ;-) it makes big headache to analyze it.

그래서 이 포스트에서는 Syllabus 에서 언급 한데로 "기본적인" composite material 의 역학을 다루겠다는 것입니다..

So, because of this reason, the basic concepts of the mechanical behavior of composite material will be dealed with in this post as mentioned in syllabus.

다 보고 나시면,, anisotropic material 을 isotropic material 처럼 바꿔서 계산도 하기도 하니까 넘 걱정 마시길 바랍니다.

But, don't worry too much. Because we gonna learn the calculation technique which switch the anisotropic material to isotropic material.

제 노트에는 이 부분이 한 줄로 끝나 있는데요.. 포스트로 쓰니 이렇게 길어지군요.;; 아 하 핫핫;;

In my note, this part is discribed only in one line. But, in post,, it become so long.. hhhh;;;

Chepter 시작 하기 앞서 기본 개념 한번 잡아 봤습니다.

I just make sure the basic concepts before we start the chapter.

AE522 Analysis of Aircraft Composite Materials Syllabus

2009-07-13T22:34:00.000-04:00

이 카테고리의 포스트는 제가 이번 2009 Summer A 학기에 Yi Zhao 교수님께 배운 Analysis of Aircraft Composite Materials 수업에 대한 내용을 올릴 것입니다.

In this category, the lectures of Analysis of Aircraft Composite Materials taught by Dr. Zhao, Yi will be posted.

Aerospace Engineering 카테고리인데 왜 느닷없이 복합재료부터 올라 오냐면은요,, 가장 최근에 들은 수업이 이 수업이라서 그렇습니다.. 아무레도 감각이 가장 살아 있는 과목이니까요..

Why those the composite material comes first although that it is Aerospace Engineering category? That's just I take that course most recently, and sense is still alive on this subject.

Goals

이 포스트에서는 기본적인 복합재료 역학을 다룰 것 입니다.

On this post, the basic concepts of mechanical behavior of composite materials will be introduced.

General Topics

Anisotropic elasticity

Generalized Hooke's Law
Engineering constants prediction
Stress and strain transformation
Compliance and stiffness
Transformed reduced compliance and stiffness

Clasical Laminate Theory

Kirchhoff hypothesis
Stress and strain distributions
Laminate stiffness: ABD matrices
Laminate classifications
Elastic coupling

Failure theories

Maximum stress criterion
Tsai-Wu criterion

Laminated plates (보류)

Navier solution
Levy solution

Laminated beams - simplified theory
Box beams

Required Skills

Engineering Mathmatics (공학수학)
Aircraft Structural Analysis (구조역학)

Reference Books

Alan A. Baker, Stuart Dutton, and Donald Kelly; Composite Materials for Aircraft Structures; AIAA; 2004
Michael Chun-Yu Niu; Composite Airframe Structures; Hong Kong Conmilit Press; 1992
MIL-HDBK-17-3F

참고 도서들은 더 많이 많이 있으나 ,, 전 이 책들을 애용 했습니다..

There are a lot more referances... But, I usally used those books.

논문 저널은 따로 포스트 올리도록 하겠습니다.

The post about thesis journals will be posted separately.

복합재료 성형하는 과정은 YouTube에 찾아보시면 여럿 나오니 찾아서 보세요~

You can find some videos about curing process in You Tube, so just find and watch them~

Engineer가 되기 위한 첫 걸음, 수식에 대한 거부감을 없애자!

2009-07-12T16:12:00.000-04:00

안녕하세요!

처음으로 포스트를 올리게 되는군요!

실은 Analysis of Aircraft Composite Materials Syllabus 글을 올리다가 내용이 '급' 변경되었습니다.

쓰다보니 수식에 대한 거부감 없애기 글이 되더라구요..

그래서 실라버스는 따로 올릴께요~

다른 공학도님들은 모르겠지만,, 전 그닥 수학을 좋아하질 않아서요.. 아무리 전공이 Aerospace Engineering 이지만요..

제 학교 친구들도 대부분 싫어했습니다.

그리고 제가 강의 할때도, 뭐 강의라고 해봐야 한 두명 놓고하는 과외 수준이지만, 설명하기 편해서 수식을 쓰면 학생들은 왕짜증을 냅니다..

뭐 하긴, 머리속에는 간단히 수식을 넣어두고 그걸 다른사람이 알아듣기 쉽게 설명하는 것도 능력입니다.

아무튼 수식을 좋아하는 사람은 별로 없습니다.

제 친구 중 하나가 이렇게 이야기 했습니다.

문과인 애가 제 친구에게 그 어려운 수학 어떻게 그렇게 매일같이 하냐구? 라고 물어보길레 이렇게 답했다고 합니다.

우리도 수학을 좋아해서 하는 것이 아니라 필요하니까 쓸 수 밖에 없으니까 하는 것이라구..

제가 보기에도 거의 대부분 사람들이 이렇게 생각하지 않을까 싶군요..

그런데 왜 공학자는 수식을 써야 할까요??

다들 싫어하고 그냥 보기에는 복잡하고 이해 불가하기 짝이 없는데,...

수식은 어디까지나 표현 방식일 뿐 입니다.

소설, 수필 같은 문학은 여러 단어의 조합으로 표현하고,

미술은 그림이나 영상, 조각으로 표현하고,

무용은 몸짓으로,

음악은 소리로 표현을 하지요..

공학은 수식으로 표현을 하는 것 입니다.

왜냐면 가장 명확하고, 편하고, 간단한 방식이기 때문입니다.

한국어로는 사과, 영어로는 Apple, 불어로는 Pomme 라고 하지만, 결국 다 같은 사과를 뜻하는 것이죠..

공학에서의 수식도 마찬가지 입니다. 물론 사과를 수식으로 뭐라 할지는 모르겠지만,,

어떤 현상에 대해서 표현을 할 때 수식을 쓰는 것 입니다.

덧붙이자면, 공학이 수식으로 표현되어서 좋은 점이.. 미술, 무용, 음악도 마찬 가지 이겠지만,, 다른 나라에서 어떤 언어를 쓰던 상관 없이 통용이 된다는 것이 편합니다..

한국에서 한국어를 쓰고, 영어권에서는 영어를 쓰고 불어권에서는 불어를 쓰고,, 공학세계에서는 수식을 쓰는 것입니다..

요즘 다들 토익, 토플 책 들고 다니며 영어 공부에 다들 몇 년이고 기를 쓰고 열중하는데요.. 그만큼 다른 언어를 배우기가 쉽지 않다는 것이죠... 수식도 다른 표현 방식인데, 처음부터 쉬울리가 없겠죠... ㅎㅎㅎ 이거 OTL 스러운가요;;

제가 말씀드리는 것은,, 다른 언어 공부하는 것처럼 수학공부 하는 것을 쉽게 포기하지 않는 자세를 갖자는 것입니다.

암튼 키워드는

수식은 언어 이다~

입니다..

선생님이나 다른 사람이 떠 먹여주길 기대하는 것 보다, 스스로 차근 차근 하다보면, 늘게됩니다..

외국어도 스스로 많이 써야 눈, 입, 귀, 손에 붙듯이요..

그렇게 하다보면 나중에는 만약 수식이 아니었다면 이걸 도대체 어떻게 표현을 할 수 있을까 라고 생각이 드는 때가 올 것 입니다.

난 수식은 싫어 라는 생각은 어여 버리시구,, 공학의 세계에 뛰어들어보시길 바랍니다~ 유후!!~

공학에서의 수학은, 수학가처럼 수식이 어떻게 되서 어떻게 되었네라고 증명하는 것은 필요 없고요..

그냥 무엇을 이 수학공식에 쓰면 이떤 결과가 나온다 까지만 하면 됩니다.

어디다 어떻게 써서 결과만 낼 줄 알면 됩니다.

수학은 도구일 뿐입니다.

대부분의 경우 공학에서의 수학은,, 삼각함수, 행렬과 미분, 적분 정도에서 해결이 되는데요..

모르는 것이 나온다 싶으면 즐겨 쓰던 (공학)수학책을 다시 뒤져보세요~ ^^

추천드릴만한 수학 헨드북은요,,

Schaum's Outlines 스리즈의 Mathematical Handbook of Formulas and Tables 2nd Edition 입니다.

뭔가 모르는 수학 공식이 나오면 후다닥 이 책을 뒤져보면 됩니다.

추가적으로 필요한 것이,, 진동 문제들은 미분방정식을 알아야 하고요,, 수식적으로 풀 수 없는 것들은 수치해석을 해야 합니다..

미분방정식은 Schaum;s Outlines 스리즈의 Differential Equations 3rd Edition이라는 책의 풀어 놓은 문제들 따라서 풀다가 보면 할 줄 알게 됩니다..

다른 공학 수학책의 1/3 정도 두께라는 것이 무척 맘에 들고, 완전히 풀어 놓은 문제가 무지막지하게 있다는 것도 아주 맘에 들 것입니다. 그냥 따라하기만 하면 되니까요..

저도 미분방정식 증오 했는데요,, 이 책보고 감을 많이 잡았습니다.

미분 방정식 할 때 도대채 왜 해가 이것이지? 라고 의문을 갖지말고 일단 예제를 따라해보고, 나중에 그 해를 수식에 넣어 보세요.. 그럼 그해가 맞다는 것을 알 수 있을 것 입니다.

참인 것은 참이니.. 다음부터는 그대로 쓰시면 되는 것입니다.. 너무 많은 생각을 하지 마세요..

수치해석은 저도 따로 수업을 들은 적은 없고요.. 다른 과목 수업 할 때 필요할 때 간간히 써본 경험밖에는 없군요.. 저도 이부분은 더 공부를 해야...;;;;

수학에 대해서 거부감을 없앨 수 있는 계기가 되었는지는 모르겠군요...

여러가지 공학 수업들을 따라가다 보면 필요에 의해서 수학 스킬을 하나 하나씩 습득해 나갈 수 있습니다..

어떤 것을 하려는데 어떤 수학 스킬을 알아야만 할 수 있는 것이라면, 그 수학 스킬을 알아야 할 수 밖에 없는 것이지요..

저도 그렇게 하나 하나씩 쌓아 왔습니다..

Transnational College of LEX; 양자역학의 모험; 과학과문화; 2001

이 책을 초반 부분을 읽어보시면 수식은 언어이다는 이야기가 정말 잘 그려져 있습니다.

한번 참고해보세요~

저도 포스트들을 작성해 가며 제가 빠트렸던 부분,, 명확하지 않았던 부분등을 조금씩 체워 나갔으면 하군요..

저나 이 포스트를 보시는 분들 모두 더 배울 수 있는 장이 되길 바랍니다~

이미 엔지니어로 일하고 계시는 분들의 조언도 부탁드립니다!

여기까지 저의 첫 포스트를 읽어주신 분들께 감사합니다!~

Space Flux Textcube Blog Open!

2009-07-11T23:55:00.000-04:00

Space Flux Textcube Blog 를 오픈했습니다!!

어떤 블로그가 될지 궁금하군요!~

많이들 놀러오세요~ ^^